Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Trigonometri

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Jump to navigation Jump to search

All of the fungsi trigonometrik of an angle θ can be constructed geometrically in terms of a unit circle centered at O.

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur")^[1] adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.
Pada abad ke-3 Masehi astronom pertama kali mencatat panjang sisi-sisi dan sudut-sudut dari segitiga siku-siku antara masing-masing sisi yang memiliki hubungan: ini dia, jika setidaknya salah satu panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, lalu semua sudut dan panjang dapat ditentukan secara algoritme. Penghitungan ini didefiniskan menjadi fungsi trigonometrik dan saat ini menjadi dalam bagian matematika murni dan terapan: contohnya untuk menganalisa metode dasar seperti transformasi fourier atau gelombang persamaan, menggunakan fungsi trigonometrik untuk memahami fenomena hal yang berhubungan dengan lingkaran melalui banyak penggunaan dibidang yang berbeda seperti fisika, teknik mesin dan listrik, musik dan akustik, astronomi, dan biologi. Trigonometri juga memiliki peranan dalam menemukan surveying.
Trigonometri mudah dikaitkan dalam bidang segitiga siku-siku (yang setiap dua ukuran sudut sama dengan satu sudut 90 derajat). Peranan untuk bukan segitiga siku-siku ada, tapi, sejak segitiga yang bukan siku-siku dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku, banyak masalah yang dapat diatasi dengan penghitungan segitiga siku-siku. Karena itu sebagian besar penggunaan berhubungan dengan segitiga siku-siku. Satu pengecualian untuk ini spherical trigonometry, pelajaran trigonometri dalam sphere, permukaan dari curvature relatif positif, dalam elips geometri (bagian yang berperan dalam menemukan astronomi dan navigasi. Trigonometri dalam curvature negatif merupakan bagian dari geometri hiperbola.

Sejarah awal

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Konsep

Jika salah satu satu sudut 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, dengan demikian sudut ketiga dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga bila dijumlahkan menjadi 180 derajat. Karena itu dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan menjadi 90 derajat: ini sudut komplementer.

Kegunaan

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

Hubungan fungsi trigonometri

Fungsi dasar:

${\displaystyle sinA={\frac {a}{c}}}$

${\displaystyle cosA={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle tanA={\frac {sinA}{cosA}}={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle cotA={\frac {1}{tanA}}={\frac {cosA}{sinA}}={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle secA={\frac {1}{cosA}}={\frac {c}{b}}}$

${\displaystyle cscA={\frac {1}{sinA}}={\frac {c}{a}}}$

Identitas trigonometri

${\displaystyle sin^{2}A+cos^{2}A=1}$

${\displaystyle 1+tan^{2}A={\frac {1}{cos^{2}A}}=sec^{2}A}$

${\displaystyle 1+cot^{2}A={\frac {1}{sin^{2}A}}=csc^{2}A}$

Rumus jumlah dan selisih sudut

${\displaystyle sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB}$

${\displaystyle sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB}$

${\displaystyle cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB}$

${\displaystyle cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB}$

${\displaystyle tan(A+B)={\frac {tanA+tanB}{1-tanAtanB}}}$

${\displaystyle tan(A-B)={\frac {tanA-tanB}{1+tanAtanB}}}$

Rumus perkalian trigonometri

${\displaystyle 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)}$

${\displaystyle 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)}$

${\displaystyle 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)}$

${\displaystyle 2sinAsinB=-cos(A+B)+cos(A-B)}$

Rumus jumlah dan selisih trigonometri

${\displaystyle sinA+sinB=2sin{\frac {1}{2}}(A+B)cos{\frac {1}{2}}(A-B)}$

${\displaystyle sinA-sinB=2cos{\frac {1}{2}}(A+B)sin{\frac {1}{2}}(A-B)}$

${\displaystyle cosA+cosB=2cos{\frac {1}{2}}(A+B)cos{\frac {1}{2}}(A-B)}$

${\displaystyle cosA-cosB=-2sin{\frac {1}{2}}(A+B)sin{\frac {1}{2}}(A-B)}$

Rumus sudut rangkap dua

${\displaystyle sin2A=2sinAcosA}$

${\displaystyle cos2A=cos^{2}A-sin^{2}A=1-2sin^{2}A=2cos^{2}A-1}$

${\displaystyle tan2A={\frac {2tanA}{1-tan^{2}A}}={\frac {2cotA}{cot^{2}A-1}}={\frac {2}{cotA-tanA}}}$

Rumus sudut rangkap tiga

${\displaystyle sin3A=3sinA-4sin^{3}A}$

${\displaystyle cos3A=4cos^{3}A-3cosA}$

${\displaystyle tan3A={\frac {3tanA-tan^{3}A}{1-3tan^{2}A}}}$

Rumus setengah sudut

${\displaystyle sin{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-cosA}{2}}}}$

${\displaystyle cos{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+cosA}{2}}}}$

${\displaystyle tan{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-cosA}{1+cosA}}}={\frac {sinA}{1+cosA}}={\frac {1-cosA}{sinA}}}$

Persamaan trigonometri

${\displaystyle \sin x=\sin \alpha }$ maka ${\displaystyle x=\alpha +k360}$ atau ${\displaystyle x=(180-\alpha )+k360}$

${\displaystyle \cos x=\cos \alpha }$ maka ${\displaystyle x=\pm \alpha +k360}$

${\displaystyle \tan x=\tan \alpha }$ maka ${\displaystyle x=\alpha +k180}$

Penerapan dalam kehidupan sehari-hari

 
Dalam kehidupan sehari – hari kita sering melihat seorang sedang mengukur jalan yang akan diperbaiki ataupun gedung bertingkat yang sedang dibangun. Para arsitek tersebut bekerja dengan menggunakan perbandingan trigonometri.
Trigonometri menemukan penggunaannya yang sempurna pada Arsitektur modern. Kurva-kurva nan indah pada permukaan baja, bebatuan, kayu, dan lain-lain dapat diwujudkan karena potensi yang besar dari ilmu ini.

Teknologi pencitraan dari komputer dapat digunakan dalam dunia kedokteran secara luar biasa untuk menemukan sumber beberapa penyakit ganas.
Itu baru sebagian kecil dari manfaat trigonometri, perlu alasan lain untuk menemukan rumus-rumus trigonometri membantu hidup kita.
Berikut beberapa contoh penggunaan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari, misalya dalam navigasi untuk menemukan jarak dari pantai ke suatu titik di laut.

Trigonometri umumnya juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan.
trigonometri juga digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut

Digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon

Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa
Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.
Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, kemiringan atap, permukaan tanah dan banyak aspek lain, termasuk bayangan matahari dan sudut cahaya

SUMBER:  http://rbaryans.wordpress.com/2013/01/29/aplikasi-trigonometri-dalam-kehidupan-nyata/


Contoh Soal :
1.Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

Pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Perhatikan gambar terlampir.
Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]
AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]
AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]
AC² = 28.900 - 12.000
AC = √ 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km
Simak lebih lanjut di Brainly.co.id - https://brainly.co.id/tugas/204968#readmore

2.Sin 60 Cos 300 + Cos 60 Sin 300 =

JAWABAN :Cos 300 = Cos (360-60)Cos 300 = Cos 60Cos 300 = 1/2Sin 300 = Sin (360-60)Sin 300 = -Sin 60Sin 300 = -1/2V3Jadi:Sin 60 Cos 300 + Cos 60 Sin 300 = 1/2V3.1/2 + 1/2.(-1/2V3) = 1/4V3 – 1/4V3= 0

3.  Abi dengan tinggi 180 cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 45°. Kemudian ia berjalan sejauh 12 meter mendekati gedung. Di posisi yang baru, Abi mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi gedung tersebut! (√3 = 1,7)

Pembahasan

Misalkan tinggi gedung = h
Jarak antara gedung dengan posisi Abi mula-mula = 12 + x
Jarak antara gedung dengan posisi Abi yang baru = x

Perhatikan gambar terlampir.
Pada ΔABO, hubungan antara BO dan AO adalah
BO/AO = tan 45°
h / (x + 12) = 1
h = x + 12
Siapkan x = h - 12 .... [Persamaan-1]

Pada ΔBCO, hubungan antara BO dan CO adalah
BO/CO = tan 60°
h / x = √3
h = x√3 .... [Persamaan-2]

Substitusikan Persamaan-1 ke Persamaan-2

h = (h - 12)√3

h = h√3 - 12√3

h√3 - h = 12√3

h(√3 - 1) = 12√3

h = \frac{12 \sqrt{3} }{\sqrt{3}-1 }

Rasionalkan

h = \frac{12 \sqrt{3} }{\sqrt{3}-1 } x \frac{\sqrt{3}+1 }{\sqrt{3}+1 }

h = \frac{12(3+ \sqrt{3}) }{2}

Diperoleh jarak BO yakni h = 6(3 + √3) meter.
Tinggi gedung = tinggi Abi + BO
Tinggi gedung = 1,8 + 18 + 6√3

Jadi tinggi gedung adalah 19,8 + 6√3 meter
Dituntaskan, tinggi gedung 19,8 + 6(1,7) = 30 meter
Simak lebih lanjut di Brainly.co.id - https://brainly.co.id/tugas/204968#readmore 

4. Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)

 5.  Sin (a-b) /     tan a – tan b

        = sin a . cos b – cos a . sin b/ sin a  /cos a  –  sin b/cos b

                                  =  sin a . cos b  – cos a. Sin b / Sin a . cos b – cos a . sin b/ Cos a . cos b

                                  = sin a . cos b – cos a . sin b x          cos a. Cos b / Sin a . cos b – cos a . sin b

                                     = cos a . cos b

6. Jika 0 < x < П/2 dan 2 tan² x – 5 tan x + 2 = 0, maka nilai dari 2 sin x . cos x adalah ..

Pembahasan :

2 tan² x – 5 tan x + 2 = 0

(2 tan x -1) (tan x -2) = 0

2 tan x – 1 = 0                tan x = 2

Tan x = ½

Jadi untuk nilai sin x  diambil dari perbandingan tan x = ½

Tan x = ½ = sa/mi

Mencari sisi miring  menggunakan  rumus phytagoras :

Mi = akar 1² + 2²

     = akar 5

Sehingga nilai sin x = de/mi

                                        = 1/ akar 5

Cos x = 2/ akar 5

Jadi nilai 2 sin x cos x = 2 x 1/akar 5 x 2/akar 5

                                        = 0,8

7.Diketahui α ⁰ sudut lancip dan sin α = 2/3 . Nilai tg α ⁰  adalah …

Sin x = 2/3 = de/mi

Tg x = de/sa

Untuk mencari sisi samping sudut dengan menggunakan hukum phytagoras :

Sa = akar 3² – 2²

    = akar 5

Tg x = 2/akar 5

        = 2/akar 5 x akar 5/akar 5

       = 2/5 akar 5

8.Diketahui sin A⁰ = 12/13 untuk П/2 < A < П. Nilai dari sin (П/2 – A)⁰ adalah …

Pembahasan :

Sin (П/2 – A)⁰ = sin A . cos B – cos A . sin B

                         = Sin 90 . 5/13 – cos 90 . 12/13

                         = 5/13

9.Pada П/2 < a < П, nilai tg a = 2,4. Nilai sin a =

Tg a = 2,4 = 24/10 = de/sa

Karena range sudut antara 90⁰ dan 180⁰, maka terletak pada kuadran II sehingga nilai tg bernilai negatif.

Tg a = – 24/10 = de/sa

Sin a = de/mi

Untuk mencari sisi miringnya menggunakan hukum phytagoras..

Mi = akar 24² + 10²

     = akar 676

   = 26

Maka nilai sin a = 24/26

                    Sin a = 12/13

10.Berikut ini2 senilai dengan sin 125 adalah ….

Sin 125⁰ sama dengan  sin 55⁰

Sin 125 terletak di kuadran II jadi, sin (180 – 125) = sin 55⁰

Soal  7 .

Diketahui segitiga  ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 9, b = 7, dan c = 8. Nilai cos C = …

c² = a² + b² – 2ab Cos C

64 = 81 + 49 – 2(9) (7) . cos C

64 = 130 – 126 . cos C

64 – 130 = – 126 . cos C

-66 = -126 cos C

Cos C         = 66/126

 Cos C         = 33/63

Jadi nilai cos C = 33/63

11.Untuk 0  ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dan persamaan  akar 2 sin x – 1 = 0 adalah…

Akar 2 sin x – 1 = 0

Akar 2 sin x = 1

Sin x = 1/akar 2

Sin x = ½ akar 2

X = 45⁰ dan 135⁰

12.Untuk 0  ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dan persamaan  akar 2 sin x – 1 = 0 adalah…

Akar 2 sin x – 1 = 0

Akar 2 sin x = 1

Sin x = 1/akar 2

Sin x = ½ akar 2

X = 45⁰ dan 135⁰

Hp = 45⁰ dan 135⁰

13.Untuk -180 < x < 180 himpunan penyelesaian dari 2 cos x + akar 3 = 0 adalah….

2 cos x = – akar 3

Cos x = – akar 3/ 2

           = -1/2 akar 3

X = 150⁰ dan 240⁰

Jadi Hp = 150⁰ dan 240⁰

14.Pada П/2 < a < П, nilai tg a = 2,4 . Nilai sin a = …

pembahasan : pada soal ini nilai a terletak pada kuadran kedua yaitu antara 90⁰ sampai 180^0, maka nilai tg bernilai negatif :

tg  a= – 24/10 = de/sa

sin a = de/mi

mencari sisi miring pada kuadran kedua adalah :

mi = akar 24² + 10²

     = akar 676

mi = 26

maka sin a = de/mi = 24/26

           sin a  = 12/13

soal 11.

Tg A = P

Cos 2A = ….?

Pembahasan :

 Cos 2A = 1 –2 sin²x

Tg = P = de/sa

Mencari sisi miring :

  mi = akar p² + 1

Sin x = p/ akar p² + 1

Cos 2A = 1 – 2sin²x

             = 1 – 2 (p/ akar p² + 1)( p/ akar p² + 1)

             = 1 – 2p²/p² + 1

             = p² + 1 – 2p²/ p² + 1

            = – p² + 1/p² + 1

Jadi nilai  Cos 2A  = 1 – p²/ p² + 1

.

15.Pada segitiga ABC diketahui AC = 6 sudut A = 120⁰ dari sudut B = 30⁰, maka luas segitiga ABC = ….?

Sin B= de/mi

Sin 30   = 6/mi

½          = 6/mi

Mi         = 6/ ½

             = 12

Cos B = sa/mi

Cos 30 = sa/ 12

½ akar 3 = sa /12

Sa           = ½ akar 3 x 12

sa          = 6 akar 3

Luas segitiga adalah : ½ a x t

                                  : ½ x 6 x 6 akar 3

                                  : 18 akar 3

16.Segitiga PQR siku-siku di Q. Jika panjang PR = 15 cm dan sec < p  = 5/, nilai cos < R adalah …

Pembahasan : …

Sec < P = 5/3

Cos < P = 3/5

Cos < P = r/q

r          = cos < P x q

           = 3/5 x 15 cm

           = 9 cm

r²        = p² + q² – 2pq x cos R

81       = 144 + 225 – 2 (12) (15) x cos R

81       = 369 – 360 . Cos R

288    = 360 Cos R

Cos R = 288/360

Cos R = 4/5

17.Segitiga ABC diketahui sudut A = 75⁰ sudut A = 60⁰ dan sudut C = 45⁰, maka AB : AC adalah

AB/AC = Sin C/ Sin B

AB/AC = Sin 45⁰/Sin 60⁰

AB/AC = ½ akar 2 / ½ akar 3

AB/AC  = akar 2 / akar 3

Soal 15.

Diketahui sin x = 0,6 untuk x terletak diantara 90⁰ dan 180⁰, maka tg x =…

Sin x = 6/10 = de/mi

Tg x = de/sa

Mencari sisi samping adalah ..

Sa = akar 10² – 6²

     = akar 64

     = 8

karena terletak di kuadran II, maka nilai tg x bernilai negatif

tg x  = – 6/8

        = – 3/4

18.Diketahui sin α = a ; α sudut tumpul. Maka tan α =

sin α = a = de/mi

untuk mencari sisi samping adalah …

sa = akar 1² – a²

 sa = akar 1 – a²

karena sudut tumpul terletak antara 90⁰ dan 180⁰, maka nilai tg bernilai negatif

jadi, tg x = – a / akar 1 – a²

.

20.diketahui tg x = a

sin 2x = ….?

Pembahasan :

Sin 2x = 2 sinx cosx

tg x = a = de/sa

mencari sisi miringnya…

mi = akar a² + 1²

mi     = akar a² + 1

sin x = de/mi

        = a /akar a² + 1

Cos x = sa/mi = 1/akar a² + 1

Jadi nilai sin 2x = 2 sinx cosx

                           = 2 x  a/akar a² + 1  x 1/akar a² + 1

                          = 2a/ a² + 1

NOVIA AGUSTRIANA
XI MIA 1